لکیری الجبرا/باب 3

دترمینان

ایک $2\times 2$ مصفوفہ $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ کا دترمینان یوں تعریف کیا جاتا ہے: $\det (A)=ad-bc$
انگریزی میں اسے determinant کہتے ہیں۔ دترمینان کے ہندسہ معنی کے لیے نیچے "مسلئہ اثباتی 4" دیکھو۔

دترمینان

ایک $3\times 3$ مصفوفہ

$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,2}\end{array}\right]$

کا دترمینان یہ ہو گا

$\det (A)=a_{0,0}{a}_{1,1}{a}_{2,2}+a_{0,1}{a}_{1,2}{a}_{2,0}+a_{0,2}{a}_{1,0}{a}_{2,1}-a_{0,2}{a}_{1,1}{a}_{2,0}-a_{0,1}{a}_{1,0}{a}_{2,2}-a_{0,0}{a}_{1,2}{a}_{2,1}$

اسی طرح ایک $n\times n$ مصفوفہ A کا دترمینان یوں لکھا جا سکتا ہے

$\det (A)=\sum \pm a_{0,k_0}{a}_{1,k_1}\cdots a_{n-1,k_{n-1}}$

جہاں $\{k_0,k_1,\cdots ,k_{n-1}\}$ ایک تَبَدُّلِ کامل ہے، اعداد $\{0,1,\cdots ,n-1\}$ کی، اس طرح کہ ایک رقم میں دو $a_{i,j}$ ایک قطار سے نہ ہوں، اور نہ ہی دو $a_{i,j}$ ایک ستون سے ہوں۔ غور کرو کہ یہاں $n!$ رقمیں جمع ہو رہی ہیں۔ ہر رقم مثبت یا منفی ہوتٰی ہے اس بنا پر کہ تَبَدُّلِ کامل کا نمبر جفت عدد ہے یا طاق عدد۔

(یہاں $n!$ سے مراد n کا عامَلیّہ ہے۔) یہ طریقہ دترمینان کی تعریف سمجھنے کے لیے ہے۔ عملی طور پر دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ ہم اب بتاتے ہیں:

دترمینان نکالنے کا ایک طریقہ

تعریف: ایک $n\times n$ مصفوفہ A کا (i,j) والا چھوٹا ایسی $n-1\times n-1$ مصفوفہ $A_{i,j}$ کو کہتے ہیں جو $n\times n$ مصفوفہ کی i ویں قطار اور j واں ستون کو ضائع کرنے سے بنائی جائے۔ انگریزی میں اسے minor کہتے ہیں۔ مثلاً مصفوفہ $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,2}& a_{0,3}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,0}& a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3}\end{array}\right]$ کا (1,2) واں چھوٹا یوں لکھیں گے $A_{1,2}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& a_{0,3}\\ a_{2,0}& a_{2,1}& a_{2,3}\\ a_{3,0}& a_{3,1}& a_{3,3}\end{array}\right]$

تعریف: میڑکس A کے چھوٹے $A_{i,j}$ اور $2\times 2$ مصفوفہ کے دترمینان کو جانتے ہوئے ہم ایک $n\times n$ مصفوفہ $A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{0,0}& a_{0,1}& \cdots & a_{0,n-1}\\ a_{1,0}& a_{1,1}& \cdots & a_{1,n-1}\\ ⋮& \cdots & \ddots & ⋮\\ a_{n-1,0}& a_{n-1,1}& \cdots & a_{n-1,n-1}\end{array}\right]$
کا دترمینان یوں نکال سکتے ہیں (پہلے ستون کو استعمال کرتے ہوئے):
$\det (A)=a_{0,0}\det (A_{0,0})-a_{1,0}\det (A_{1,0})+\cdots +(-1{)}^n{a}_{n-1,0}\det (A_{n-1,0})$

مسلئہ اثباتی 1

مصفوفہ جن کا سائیز $n\times n$ ہو،

• اگر مصفوفہ A کی کسی قطار کو $\alpha$ سے ضرب دے کر مصفوفہ B حاصل کی جائے تو:

$\det (B)=\alpha \det (A)$

• اگر مصفوفہ A کی کوئی دو قطاروں کی جگہ آپس میں تبدیل کر کے مصفوفہ B حاصل کی جائے تو:

$\det (B)=-\det (A)$

• اگر مصفوفہ A کی کسی قطار کو کسی عدد سے ضرب دے کر کسی دوسری قطار میں جمع کر دیا جائے، اور اس نئی مصفوفہ کو B کہا جائے تو:

$\det (B)=\det (A)$

• شناخت مصفوفہ کا دترمینان ایک (1) ہوتا ہے:

$\det (I)=1$

• مصفوفہ A کے اُلٹ کا دترمیناں

$\det (A^{-1})=\frac{1}{\det (A)}$

• مصفوفہ A کے پلٹ کا دترمیناں

$\det (A^t)=\det (A)$

• مصفوفہ کو ایک سکیلر (عدد) سے ضرب دینے کے بعد کا دترمینان

$\det (\alpha A)={\alpha }^n\det (A)$

مسلئہ اثباتی 2

مصفوفہ جن کا سائیز $n\times n$ ہو،

• اگر کسی مصفوفہ A کی کوئی قطار سب صفر ہو تو:

$\det (A)=0$

• اگر کسی مصفوفہ کی دو قطاریں برابر ہوں، تو:

$\det (A)=0$

مسلئہ اثباتی 3

مصفوفہ جن کا سائیز $n\times n$ ہو، تو مصفوفہ ضرب کا دترمینان: $\det (AB)=\det (A)\det (B)$

مصفوفہ ضرب بطور لکیری فنکشن

$\begin{array}{c}f(.)\\ ⟶\end{array}$

مسلئہ اثباتی 4

لکیری فنکشن بزریعہ مصفوفہ ضرب $f(X)=AX:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ ، جہاں مصفوفہ A کا سائیز $2\times 2$ ہے، اور اس کا ہر جُز میدان $ℝ$ میں ہے ۔ یہ "مصفوفہ دالہ" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے رقبہ کا تناسب مصفوفہA کےدترمینان کی مطلق (absolute) قدر کے برابر ہو گا:

$\frac{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{f}f(E)}{\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{o}\mathrm{f}E}=|\det (A)|$

مسلئہ اثباتی 5

لکیری فنکشن بزریعہ مصفوفہ ضرب $f(X)=AX:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$ ، جہاں مصفوفہ A کا سائیز $3\times 3$ ہے، اور اس کا ہر جُز میدان $ℝ$ میں ہے۔ یہ "فنکشن" علاقہE کو علاقہ ‭f(E)‬ میں بھیجتی ہے۔ اب ان دونوں علاقوں کے حجم کا تناسب مصفوفہA کےدترمینان کی مطلق قدر کے برابر ہو گا: $\frac{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}f(E)}{\mathrm{V}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{u}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}\mathrm{f}E}=|\det (A)|$

مصفوفہ کا رتبہ

مصفوفہ کا رتبہ اس میں باہمی لکیری آزاد قطاروں کی تعداد، یا اس میں باہمی لکیری آزاد ستونوں کی تعداد کو کہتے ہیں۔ ایک مصفوفہ کا زیادہ سے زیادہ رُتبہ اس کی قطاروں کی تعداد، یا ستونوں کی تعداد، (جو تعداد کم ہو) کے برابر ہو سکتا ہے۔

مسلئہ اثباتی

ایک $n\times n$ مربع مصفوفہ A کے لیے نیچے دی گئے بیان ایک دوسرے کے ہم معٰنی ہیں:

• اس مصفوفہ کو اُلٹانا ممکن ہے۔
• اس میٹرکس کا رتبہ (پورا) n ہے۔
• اس مصفوفہ کے تمام ستون باہمی لکیری آزاد ہیں، اور تمام قطاریں باہمی لکیری آزاد ہیں۔
• ایک متغیر $n\times 1$ مصفوفہ X ہو، تو $AX=0$ W:ur:اگر بشرط اگر $X=0$
• اس مصفوفہ کا دترمینان صفر نہیں: $\det (A)\ne 0$

• یہاں یہ بیان کرنا ضروری ہے کہ اگر اس مصفوفہ کا دترمینان بہت چھوٹا عدد ہو، تو میٹرکس کو الٹانا مشکل ہوتا ہے۔ یہ جاننے کے لیے میٹرکس کا حالتی عدد (condition number) نکالنا مفید رہتا ہے۔

• یاد رہے کہ عام طور پر متواقت لکیری مساوات کے نظام $AX=0$ سے یہ نتیجہ اخذ نہیں کیا جا سکتا کہ $X=0$ ۔ (اس کے لیے مسلئہ اثباتی کی رُو سے مربع مصفوفہ A کا رتبہ پورا n ہونا ضروری ہے۔)

اور دیکھو

• W:ur:سائیلیب help det

$E=m{c}^2$     یہاں ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں (LTR) پڑھو     ریاضی علامات